IEEE 754

有限数

2または10を基数とする、任意の有限数を扱うことができる。

基数b、符号s(0で+、1で−)、仮数部m、指数部eとすると、数値は、次の式で表現される。

(−1)^s × m × b^e

仮数mと指数eの長さが異なる複数の形式が用意されており、それぞれで扱える数値の範囲、精度などが異なる。

同じ値を複数の形式で表現可能だが、そのうち一つを正規化数、それ以外を非正規化数という。

0

m=e=0の場合が0だが、この場合でもsが有効なため、0には+0と−0が存在する。

∞

eが全ビット1で、m=0の時、∞である。この場合でもsが有効なため、∞には+∞と−∞が存在する。

非数(NaN)

eが全ビット1で、mの最上位ビットを除いた値が1以上の時、NaNである。この場合でもsが有効なため、NaNには+NaNと−NaNが存在する。

更に、NaNにはQuiet NaNとSignaling NaNがあり、mの最上位ビットが0ならSignaling ±NaN、1ならQuiet ±NaN、である。いずれの場合も、mの余剰ビットを用いて情報の伝達をすることが可能。

不定値(Indeterminate)

eが全ビット1で、mの最上位ビットのみが1の時、不定値である。この場合でもsが有効なため、∞には+不定と−不定が存在する。

16ビット長、32ビット長、64ビット長、128ビット長での表現方法が規定されている。

IEEE 754-2008では標準形式(Basic formats)、算術形式(Arithmetic formats)、交換形式(Interchange formats)があり、最低限、標準形式には対応せねばならない。

このうち、binary16とdecimal32は標準形式ではなく、主として(短いビット長での)値の保存用として規定されている。

16ビット長、32ビット長、64ビット長、128ビット長、いずれの交換形式においても、一般的には最上位ビット(MSB)に符号(s)を置き、次に指数e、下位に仮数mを置く。

例えば、単精度(binary32)であれば、次のようになる。

  1     8               23
 +-+--------+-----------------------+
 |S|  Exp   |  Fraction             |
 +-+--------+-----------------------+
31 30     23 22                     0

Sが符号部、Expが指数e、Fractionが仮数mである。

この場合のExpは8ビットだが、127を加算し、−126〜+127を、1〜254で表現している。Exp=0とExp=127は特殊な値の表現に使われるため、通常の値には利用できない。

なお、倍精度(binary64)の場合も同様に、Expは11ビットなので1023を加算する。

10進の場合、表現方法が複雑である。

2進の場合と同様に、符号s、指数e、仮数mで表わすことは同様だが、仮数mが10進になっている。更に、1桁でも多く詰め込むようにするため、仮数部はBCDではなく、特殊な形式を採用している。