面積

正方形は長方形の一種であるので、同様に扱うことができる。

その面積は、[縦]×[横]で求めることができる。

三角形の面積の基本は、[底辺]×[高さ]÷2であり、日本では初等教育課程で学ぶ(はずである)ため、よく知られている。

基本的に、「面積の公式」のたぐいは全て、この公式が出発点であると言っても過言ではない。

ではなぜ三角形の面積はこの式になるのか。これは、同じ形の三角形二つを繋ぎ、はみ出した部分は切り取ってもう片方に貼り長方形を作ることを考え、その長方形に対角線を引いて半分にしたものが求めたい三角形である、という考え方をすることから始まる。

長方形の面積は[縦]×[横]と単純であり分かりやすい。三角形を二つ繋ぎ長方形を作るとすると、その各辺は元の三角形では底辺と高さに対応する。従って、[底辺]×[高さ]が作られた長方形の面積で、その半分(÷2)が三角形の面積なのである。

このように、元の面積を変えずに図形を変形していくことを「等積変形」といい、以降、あらゆる図形はこの方法で面積を求めてゆくことになる。

台形とは、向かい合う一組の辺が平行な四角形である。

その面積は、「([上底]+[下底])×[高さ]÷2」であり、日本の初等教育課程では、いわゆる「ゆとり教育世代」を除きこの公式の暗記に終始する。

ではなぜ台形の面積はこの式になるのか。これも、上の三角形の面積の場合と全く同じ発想によっており、等積変形にて求められる。

同じ形の台形二つを繋ぎ、はみ出した部分は切り取ってもう片方に貼れば長方形を作ることができる。その長方形の一辺は上底+下底であり、もう一辺は高さとなる。かくして、その面積の半分が台形の面積となるわけである。

平行四辺形の面積は、[底辺]×[高さ]で求めることができる。

この場合も他と同様に等積変形により、はみ出した部分は切り取ってもう片方に貼れば長方形を作ることができるからである。

円の面積は「πr²」で求められる。日本の初等教育課程では、[半径]×[半径]×3.14として学び、より具体的なことは中等教育課程に持ち越される。

円の場合も等積変形にて証明できる。円の中心から扇形として円を切り出し、これを張り合わせてゆくと長方形のようなものを作ることができる。弧の部分は直線ではないため形はいびつであるが、弧の長さを無限に小さくして、それを無限の数張り合わせるとすると、いずれは直線と変わらないようなもので長方形と変わらないようなものを作ることが可能、と考えることができる。

このとき、一辺は円から弧までの長さ、つまり半径であり、もう一辺は弧、つまり円周の長さの半分ということになる。半分なのは、上底と下底でそれぞれに弧の長さが分けられるからである。

かくして、円の面積は(算数的には)次のようになるのである。

円周 = [半径]×[円周率]×2 (上の説明にはないが、こうなるものと定義)

面積 = [半径]×[円周]÷2

面積 = [半径]×[半径]×[円周率]×2÷2 (代入)

面積 = [半径]×[半径]×[円周率]

こうして円の面積はπr²となるわけである。

球の表面積は、「4πr²」で求めることができる。

これは、球の体積を半径で微分すると得ることができる。