第一宇宙速度

v₁:第一宇宙速度、G:万有引力定数、M_e:地球の質量、m:人工衛星の質量、R:地球の半径、とする。

遠心力と引力の釣合いから、次のようになる。

m×v₁²/R(遠心力) = GM_em/R²(引力)

これをv₁について解くと、次のようになる。

v₁=√(GM_e/R)

これが、第一宇宙速度である。

F:万有引力、G:万有引力定数、M_e:地球の質量、m:人工衛星の質量、r:物体間の距離、とすると、万有引力Fは、次のようになる。

F=G×(M_em/r²) … (式1)

次に、ニュートンの運動方程式を考える。式は次の通り。

ma=F … (式2)

さて、簡単にするために人工衛星は地球の周りを円運動するものとする。その軌道高度は充分に低いと仮定し、仮に地球の半径Rと同じとする。

この時、人工衛星の速度をvとすると、上の運動方程式の加速度aは、次のようになる。

a=v²/r … (式3)

等速円運動の加速度は、このように半径と速度のみで定義できる。

式3を式2に代入すると、次のようになる。

m×(v²/r)=F … (式4)

更に式1を代入すると、次のようになる。

m×(v²/r)=G×(M_em/r²)

これをvについて解くと、次のようになる。

v=√(GM_e/r)

つまり、この速度vは最低限であり、この速度を超えたとき、人工衛星は速度に応じた高度で円運動できる。