円周率

数学の授業では様々な公式を習うが、円や球に関する公式は次のようなものがあるが、どれも半径rをパラメーターとして持っている。

• 円周の長さ = 2πr
• 円の面積 = πr²
• 球の体積 = 4/3τr³

そもそも円とは「平面上である一点からの距離が一定な点の軌跡」のことであり、距離が一定とはすなわち半径のことである。コンパスで円を描くときも中心を支点に回転させる。このように、半径とは円の性質を表わす唯一無二のパラメーターである。

ゆえに、円周率πが直径を用いたことは極めて不自然なことで、これは大きなミスだったと言える。

直径を使う不自然なπ(パイ)のために算数や数学を分かりにくくし、算数や数学嫌いを増やしたであろうことは、非常に残念なことである。そこで、一部の数学者は、円周率πに代わる数学定数として、本質的な円周率であるτ(タウ)を提唱している(詳細→τ)。

円周率τは、円の半径に対する円周長の比であり、つまりτ=2πである。上述のように、こちらの方がより数学的に本質的であり、なおかつ使いやすい。

本質的な円周率τを定義することによって、上述した公式は次のように書き換えられる。

• 円周の長さ = τr
• 円の面積 = 1/2τr²
• 球の体積 = 2/3τr³

特に円周の表現に不自然さがなくなって劇的に分かり易くなっている。

πと比べて、円の面積に1/2が増えている。これは逆に複雑になったかというとそうではなく、むしろこれが本質なのである。なぜなら、円の面積を二等辺三角形に変換して求める方法は、まさに積分だからである。

∫τr dr = 1/2τr²

つまり、この方が一目で積分していることが分かるのである。

下に列挙するような場面では、円周率は2πの形で登場する。π単体ではなく、大抵の場面で係数2が付いているのがポイントである。

• 正規分布の式
• フーリエ変換の式
• コーシーの積分公式
• リーマンゼータ関数

理由は既に上に述べたように、円周率の定義が悪いためである。円周を半径で割った値の方が数学的に本質的であるにもかかわらず、歴史的に円周を直径で割ったものを「円周率π」として用いてきたことから、重要な場面でことごとく2πという形で登場せざるを得なくなった。

しかしこれは非効率だし分かりにくい。より数学的に本質的なτを使うべきである。

全ての素数の積は4π²とされている。しかしこれはπの定義のおかしさを物語るもので、より本質的なτで表わせば「τ²」となる。

なお、もちろん素数は無限にある。4π²=τ²は約39.478であるので、最初の4つの素数、2、3、5、7まで掛けた時点でこの数を超えることが自明であるし、無限の数を掛けても普通に無限大に発散するだけなのは自明なので、これは絶対に間違いであるように思われる。

ここでいう素数の積なるものは「素数の無限積を解析接続」した場合について述べたもので、無限の中では常識は通用しないことの一例をセンセーショナルに述べたものである。

上と同様で、全ての整数の積は√2πだとされている。これは見た目でも分かるように、τで表わせば「√τ」である。

この二つの実例を見ただけでもτは数学的に本質的であることが分かる。

ちなみに全ての整数の積とは無限大の階乗なので、次のように書ける。

∞! = √τ

前述の通り、これは単純な概念ではなく工夫しないと意味を持たないことに注意が必要である。単純に全ての整数を掛ければ普通に無限大に発散するだけなのは自明である。

πは無理数であり、また、決して割り切れない数でもある。

参考までに小数点以下500桁までは、次のとおり。

3.

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128

4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196

4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091

4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273

7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436

7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094

3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548

0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912

ちなみに旧約聖書では「3」となっているらしい。

本質的な円周率であるτも無理数なのは同様で、πのちょうど倍の数になる。

参考までに小数点以下500桁までは、次のとおり。

6.

2831853071 7958647692 5286766559 0057683943 3879875021

1641949889 1846156328 1257241799 7256069650 6842341359

6429617302 6564613294 1876892191 0116446345 0718816256

9622349005 6820540387 7042211119 2892458979 0986076392

8857621951 3318668922 5695129646 7573566330 5424038182

9129713384 6920697220 9086532964 2678721452 0498282547

4491740132 1263117634 9763041841 9256585081 8343072873

5785180720 0226610610 9764093304 2768293903 8830232188

6611454073 1519183906 1843722347 6386522358 6210237096

1489247599 2549913470 3771505449 7824558763 6602389825

パソコンで、CPUの処理速度などを計測するベンチマーク方法として円周率計算が使われることがある。

何兆桁も計算するような必死なものではなく、もっと少ない桁数を何秒間で計算できるかを見ることで、概ねの処理速度を概算するものである。

Windows用として特に有名なのは、Superπというソフトウェアである。

C/C++の実装によっては、Cならmath.hを、C++ならcmathをincludeすることでマクロ定数のM_PIが使用可能になる。しかしもちろん、小数点以下何億桁もの精度が保証されるわけではない。

具体的には、次のようなマクロ定数が定義される。値はある実装での例。

• M_PI ‐ 3.14159265358979323846 (π)
• M_PI_2 ‐ 1.57079632679489661923 (π/2)
• M_PI_4 ‐ 0.785398163397448309616 (π/4)
• M_1_PI ‐ 0.318309886183790671538 (1/π)
• M_2_PI ‐ 0.636619772367581343076 (2/π)
• M_2_SQRTPI ‐ 1.12837916709551257390 (2/√π)

2001(平成13)年4月1日に、RFC 3091としてPi Digit Generation Protocol(π値生成プロトコル)が提案されている。