マンデルブロー集合

フラクタル幾何学という、比較的新しい数学の一部門で扱われる図形の一つ。電子計算機関係では、それをカラーグラフィクスにしたものをさしていう場合が多い。1980(昭和55)年にフラクタル幾何学の創始者マンデルブロー博士が発表したものである。

複素数を使ったある単純な計算式によって描かれる図形であるが、その外形は非常に複雑な形をしており、さらにある条件によって色分けを行なうと、周縁部にきわめて複雑な模様が描かれる。これが数学史上で最も奇怪で美しい図形と呼ばれている。

計算式は簡単だが実数演算を何度も繰り返さなければならない。20世紀のパソコンでは計算に数時間かかることもあったが、21世紀のパソコンでは数秒〜数十分で済むようになった。

計算は、Z(n+1)=Z(n)²+C、Z(0)=0(Cは任意の複素数、nは負でない整数)を繰り返し(理論上では無限回)計算してゆき、Z(n)の絶対値が無限大になるか(n→∞のとき |Z(n)|→∞)、そうでないかを調べる。なお、数学的にマンデルブロー集合と言うと、|Z(n)|→∞ にならない点の集合を指す。Cの値をいろいろ変えて以上のことを調べ、それぞれのCの値に相当する複素平面上の点にその結果に応じて色を付ける。普通、|Z(n)|→∞にならない点は黒にする。

先の式を計算してゆき途中で |Z(n)|>2 になった場合、そのまま計算していくと |Z(n)|→∞ になることが証明されている。そこで、コンピューターによる計算では、あらかじめ最大計算回数を決めておき、その計算途中で|Z(n)|>2 になるかどうかで判断する。途中で |Z(n)|>2 になった場合、何回目の計算で |Z(n)|>2 になったかに応じて付ける色を変えると、マンデルブロー集合本体の周りにきわめて複雑な模様が描かれる。

マンデルブロー集合の全景

拡大図1

拡大図2

拡大図3

mandel.doc (マニュアル)

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