無限大
読み：むげんだい
外語：infinite
限りなく巨大な数。無限に数が増大している状態。記号は∞。
概要
あらゆる数よりも大きなさまを表わす概念である。
従って、これは特定の値を表わすのではなく、値が非常に大きいという状態を表わすもと考えることができる。
∞は無限数であり、ゼロ以外の有限数との演算の結果は無限数である。つまり、∞へのゼロ以外の有限数の加減乗除は現実には意味を持たず、∞のままである。
演算
ゼロとの乗算
無限大にゼロを掛けたらどうなるのか、という問題である。考え方は二通りある。
高校数学では、無限大は数ではないので、積を求めるということ自体が出来ない。つまり「解無し」が答えである。ただ、ゼロと限りなく大きな数xの積は求めることができるので、xを大きくしていった極限で考えることとする。この時、x→∞と表わすことができ、0とxの積0xの極限がどうなるかというと、x→∞のとき0x→0になる、と表わす。従って、極限では、次のように書き表わすことができる。
lim 0x=0
x→∞
但しこれはあくまで極限での解であって、実際に∞との積を求めているわけでは無い。
大学以上の高度な数学においては、無限大は数として扱うことが可能であるため、積を求めることができる。ゼロと無限大の積は、ゼロである。
ゼロとの除算
ゼロを無限大で割ったら、および、無限大をゼロで割ったらどうなるのか、という問題である。
∞÷0=?
0÷∞=?
前者はそもそも0除算であるため、解は無い。「解無し」が答えとなる。後者は0が解である。
ただ、極限では、無限大と限りなく小さな数xの商は求めることができる。この時、x→+0およびx→-0と二通りで表わすことができ、∞とxの商の極限がどうなるかというと、x→+0のとき∞/x→∞、x→-0のとき∞/x→-∞、と書き表わすことができる。
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