完全数
読み：かんぜんすう
外語：perfect number
ある自然数aにおいて、a自体を除き1を含む約数の和がaと一致するときの、自然数aのこと。
概要
6、28、496、8128などが知られる。
現時点では、知られる完全数は全て偶数であり、しかも1の位が6または8である。
1の位が6または8以外が存在するか、あるいは奇数の完全数が存在するかどうかは未解決であり、存在しないという証明もまだなされていない。
特徴
主な完全数
- 6 = 1+2+3
- 28 = 1+2+4+7+14
- 496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248
- 8128 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064
メルセンヌ素数
ユークリッドによりメルセンヌ素数との関係が証明されており、2n-1をMnと書くとして、Mnが素数(メルセンヌ素数)であるとき、2n−1Mnは完全数である。
このため、紀元前から素数であることが知られていた4つのメルセンヌ素数に対応する、6、28、496、8128の4つの数は、紀元前より完全数であることが知られていた。
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