直角三角形の長さにおける法則。「三平方の定理」などとも呼ばれる。

目次 概要 式 発見者 証明 特徴 余弦定理 応用

概要

式

直角三角形の直角を挟む二辺の長さをa、b、斜辺の長さをcとすると、次の式が成り立つ。

c²=a²+b²

この幾何学の定理をいう。

発見者

「ピタゴラスの定理」と呼ばれてはいるが、ピタゴラスが発見したわけではない。

定理自体は、ピタゴラスよりはるか以前より知られていたことが分かっているが、この定理にピタゴラスの名が冠された理由については定かではない。

証明

なぜこの定理が成立するのかは、知られるだけでも数百の異なる証明があるとされる。

特徴

余弦定理

ピタゴラスの定理の応用と考えられる定理に、余弦定理がある。

ピタゴラスの定理は直角三角形に限定されているが、余弦定理は任意の角を持つ三角形で用いることができる。

ユークリッド原論では、〓ABCで、γが鈍角となる三角形において、次が導かれるとする。

c²=a²+b²-2ab cosγ

なお、cos90°=0であるので、直角三角形の場合はピタゴラスの定理と完全に一致することが分かる。

応用

平面座標上において、二点のX座標とY座標が分かれば、互いの距離を求めることができる。

点aの座標をXaとYa、点bの座標をXbとYbとすると、次の式が成立する。

d=√( (Xa-Xb)² + (Ya-Yb)² )

ゲームなどでも、互いの衝突判定の計算に使われていることがあるが、平方根の計算があるため計算が遅くなりがちなのが難点である。

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直角三角形

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